Kada Abelio grupė yra cikliška?

2024 Autorius: Fiona Howard | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-10 06:40

Neoficialiai grupė yra ciklinė jei ją sugeneruoja vienas elementas. Tai yra Abelio, jei daugyba keičiasi. Grupė yra ciklinė, jei ją gali sugeneruoti vienas elementas.

Ar Abelio grupė yra cikliška?

Visos ciklinės grupės yra Abelio, tačiau Abelio grupė nebūtinai yra ciklinė. Visi Abelio grupės pogrupiai yra normalūs. Abelio grupėje kiekvienas elementas priklauso konjugacijos klasei, o simbolių lentelė apima vieno elemento, žinomo kaip grupės generatorius, galias.

Kaip įrodyti, kad Abelio grupė yra cikliška?

Įrodymas

1. Tegul G yra ciklinė grupė su generatoriumi g∈G. Būtent, mes turime G=⟨g⟩ (kiekvienas elementas G yra tam tikra g laipsnio.)
2. Tegul a ir b yra savavališki G elementai. Tada egzistuoja n, m∈Z, kad a=gn ir b=gm.
3. Todėl gauname ab=ba savavališkai a, b∈G. Taigi G yra Abelio grupė.

Kaip žinoti, ar grupė yra cikliška?

4 Atsakymai. Baigtinė grupė yra ciklinė, jei ir tik jei ji turi tiksliai vieną pogrupį iš kiekvieno savo eilės daliklio. Taigi, jei randate du tos pačios eilės pogrupius, grupė nėra cikliška, ir tai kartais gali padėti.

Kas yra ciklinės grupės paaiškinimas pavyzdžiu?

Pavyzdžiui, (Z/6Z)^×={1, 5} , o kadangi 6 yra dvigubai nelyginis pirminis dydis yra ciklinė grupė. … Kai (Z/nZ)^× yra ciklinis, jo generatoriai vadinami primityviosiomis šaknimis modulo n. Pirminio skaičiaus p grupė (Z/pZ)^{× visada yra ciklinė, susidedanti iš baigtinio p eilės lauko elementų, kurie skiriasi nuo nulio.}